Question

設函數．
（1）當a=0時，求f（x）的極值；
（2）當a≠0時，求f（x）的單調區間；
（3）當a=2時，對任意的正整數n，在區間上總有m+4個數使得f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a_m）＜f（a_m+1）+f（a_m+2）+f（a_m+3）+f（a_m+4）成立，試求正整數m的最大值．

Answer 1

解：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞）．…（1分）
當a=0時，，∴．…（2分）
由f'（x）=0得．
f（x），f'（x）隨x變化如下表：

x
f（x）	-	0	+
f'（x）	↘	極小值	↙

故，，沒有極大值．…（4分）
（2）由題意，
令f'（x）=0得，．…（6分）
若a＞0，由f'（x）≤0得；由f'（x）≥0得．…（7分）
若a＜0，①當a＜-2時，，或，f'（x）≤0；，f'（x）≥0，
②當a=-2時，f'（x）≤0
③當-2＜a＜0時，或，f'（x）≤0；，f'（x）≥0．
綜上，當a＞0時，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為；
當a＜-2時，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為；
當-2＜a＜0時，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為…（10分）
（3）當a=2時，．
∵，∴f'（x）≥0
∴，．…（12分）
由題意，恒成立．
令，且f（k）在上單調遞增，
∴，因此，而m是正整數，故m≤32，
所以，m=32時，存在，a_m+1=a_m+2=a_m+2=a_m+4=8時，對所有n滿足題意，∴m_max=32．
分析：（1）求導函數，確定函數的單調性，進而可求f（x）的極值；
（2）求導函數，利用導數的正負，分類討論，即可確定函數的單調區間；
（3）當a=2時，，求出函數的最值，問題轉化為恒成立．
令，且f（k）在上單調遞增，由此可求正整數m的最大值．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值與單調性，考查分類討論的數學思想，考查恒成立問題，正確求導是關鍵．