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【題目】已知函數(x)=xlnx,g(x)=ax3-.

(Ⅰ)求函數(x)的單調遞增區間和最小值；

(Ⅱ)若函數y= (x)與函數y =g(x)的圖象在交點處存在公共切線，求實數a的值。

【答案】(Ⅰ) 見解析;(Ⅱ)a=.

【解析】試題分析：(Ⅰ)求出的導數，求得單調區間和極值，即可得最小值；(Ⅱ)設函數與函數的圖象在交點處存在公共切線，則根據切線的斜率相等以及交點在兩個函數的圖象上可得，列出方程組，結合（Ⅰ），即可求出實數的值.

試題解析：(Ⅰ)∵

∴，

∴當時，；當時，.

∴函數在上單調遞減,在上單調遞增.

∴所求函數的單調遞增區間為，最小值為.

(Ⅱ) 設函數與函數的圖象在交點處存在公共切線，則根據切線的斜率相等以及交點在兩個函數的圖象上可得， 即(*),變形得.

∴，化簡得

∴是方程的一個實數解.

又∵由(Ⅰ)易知方程有唯一的實數解，且該解為

∴，將之代入

∴

練習冊系列答案
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【題目】已知圓： 過圓上任意一點向軸引垂線垂足為（點、可重合），點為的中點.

（1）求的軌跡方程；

（2）若點的軌跡方程為曲線，不過原點的直線與曲線交于、兩點，滿足直線， ， 的斜率依次成等比數列，求面積的取值范圍.

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【題目】如圖在多面體中，四邊形是邊長為的正方形， 為等腰梯形，且， ， ， .

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

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【題目】4月23日是“世界讀書日”,某中學在此期間開展了一系列的讀書教育活動,為了解本校學生課外閱讀情況,學校隨機抽取了100名學生對其課外閱讀時間進行調查,下面是根據調查結果繪制的學生日均課外閱讀時間(單位:min)的頻率分布直方圖,若將日均課外閱讀時間不低于60 min的學生稱為“書蟲”,低于60 min的學生稱為“懶蟲”,

(1)求x的值并估計全校3 000名學生中“書蟲”大概有多少名學生?(將頻率視為概率)

(2)根據已知條件完成下面2×2的列聯表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“書蟲”與性別有關:

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【題目】某保險公司有一款保險產品的歷史收益率（收益率=利潤÷保費收入）的頻率分布直方圖如圖所示：

（Ⅰ）試估計平均收益率；

（Ⅱ）根據經驗，若每份保單的保費在20元的基礎上每增加元，對應的銷量（萬份）與（元）有較強線性相關關系，從歷史銷售記錄中抽樣得到如下5組與的對應數據：

據此計算出的回歸方程為.

（i）求參數的估計值；

（ii）若把回歸方程當作與的線性關系，用（Ⅰ）中求出的平均收益率估計此產品的收益率，每份保單的保費定為多少元時此產品可獲得最大收益，并求出該最大收益.

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【題目】已知圓： ，直線過定點.

（Ⅰ）若與圓相切，求的方程；

（Ⅱ）若與圓相交于、兩點，求的面積的最大值，并求此時直線的方程.（其中點是圓的圓心）

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】下面結論正確的是（ ）

①“所有2的倍數都是4的倍數，某數是2的倍數，則一定是4的倍數”，這是三段論推理，但其結論是錯誤的.

②在類比時，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適.

③由平面三角形的性質推測空間四面體的性質，這是一種合情推理.

④一個數列的前三項是1,2,3，那么這個數列的通項公式必為.

A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ②④

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【題目】已知為坐標原點，橢圓： 的左焦點是，離心率為，且上任意一點到的最短距離為.

（1）求的方程；

（2）過點的直線（不過原點）與交于兩點、， 為線段的中點.

（i）證明：直線與的斜率乘積為定值；

（ii）求面積的最大值及此時的斜率.

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【題目】如圖，在梯形中，，，.

（1）求；

（2）平面內點在的上方，且滿足，求的最大值.

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