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【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

已知圓的參數方程為（為參數），若是圓與軸正半軸的交點，以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，設過點的圓的切線為.

（1）求直線的極坐標方程；

（2）求圓上到直線的距離最大的點的直角坐標.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：根據可知切線的傾斜角為，設為切線上的動點， ，在內利用正弦定理列出方程，整理得出切線方程；第二步利用圓的參數方程巧設點，借助點到直線的距離公式和三角函數求最值.

試題解析：

（Ⅰ）由題設知,圓心 ,,故過點的切線傾斜角為30°，設是過點的圓C的切線上的任一點，則在中， ，由正弦定理得 ，即為所求切線的極坐標方程.

（Ⅱ）直線方程為，設圓上點坐標為，則，所以當，即時距離最大，此時點的坐標為.

練習冊系列答案
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【題目】某校為了紀念“中國紅軍長征90周年”，增強學生對“長征精神”的深刻理解，在全校組織了一次有關“長征”的知識競賽，經過初賽、復賽，甲、乙兩個代表隊(每隊3人)進入了決賽，規定每人回答一個問題，答對為本隊贏得20分，答錯得0分.假設甲隊中每人答對的概率均為，乙隊中3人答對的概率分別為， ， ，且各人回答正確與否相互之間沒有影響，用表示乙隊的總得分.

(1)求的分布列和均值；

(2)求甲、乙兩隊總得分之和等于40分且甲隊獲勝的概率.

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【題目】設某物體一天中的溫度是時間的函數，已知，其中溫度的單位是，時間的單位是小時，規定中午12：00相應的，中午12：00以后相應的取正數，中午12：00以前相應的取負數（例如早上8：00相應的，下午16：00相應的），若測得該物體在中午12：00的溫度為，在下午13：00的溫度為，且已知該物體的溫度在早上8：00與下午16：00有相同的變化率.

（1）求該物體的溫度關于時間的函數關系式；

（2）該物體在上午10：00至下午14：00這段時間中（包括端點）何時溫度最高？最高溫度是多少？

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【題目】從某企業生產的某種產品中抽取100件，測量這些產品的質量指標值，由測量結果得到如圖所示的頻率分布直方圖，質量指標值落在區間內的頻率之比為．

（1）求這些產品質量指標值落在區間內的頻率；

（2）若將頻率視為概率，從該企業生產的這種產品中隨機抽取3件，記這3件產品中質量指標值位于區間內的產品件數為，求的分布列與數學期望．

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【題目】為了降低能源消耗，某冷庫內部要建造可供使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為4萬元，又知該冷庫每年的能源消耗費用（單位：萬元）與隔熱層厚度（單位： ）滿足關系，若不建隔熱層，每年能源消耗為8萬元.設為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和.

（1）求的值及的表達式；

（2）隔熱層修建多厚時，總費用達到最��？并求最小值.

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【題目】已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓，離心率，且橢圓過點.

(1)求橢圓的方程；

(2)設橢圓左、右焦點分別為，過的直線與橢圓交于不同的兩點，則的內切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由.

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【題目】某校后勤處為跟蹤調查該校餐廳的當月的服務質量，兌現獎懲，從就餐的學生中隨機抽出100位學生對餐廳服務質量打分(5分制)，得到如下柱狀圖：

(1)從樣本中任意選取2名學生，求恰好有一名學生的打分不低于4分的概率；

(2)若以這100人打分的頻率作為概率，在該校隨機選取2名學生進行打分(學生打分之間相互獨立)記表示兩人打分之和，求的分布列和.

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【題目】設命題實數滿足，其中，命題實數滿足.

（1）若，有且為真，求實數的取值范圍；

（2）若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍.

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【題目】已知數列， 滿足， ，且， .

（1）求及；

（2）猜想， 的通項公式，并證明你的結論；

（3）證明：對所有的， .

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