Question

【題目】已知數列， 滿足， ，且， .

（1）求及；

（2）猜想， 的通項公式，并證明你的結論；

（3）證明：對所有的， .

Answer 1

【答案】（1）， ， ， ， ， ；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）依次把n=1，2，3代入遞推式即可求出{an}，{bn}的前4項；
（2）利用數學歸納法證明猜想；
（3）利用放縮法證明不等式左邊，利用函數單調性證明不等式右邊．

試題解析：

（1）因為， ，且，

令，得到解得， ；同理令分別解得由此可得， ，

， ；

（2）證明：猜測， ，

用數學歸納法證明：①當時，由上可得結論成立.

②假設當時，結論成立，即， ，

那么當時， ，

，所以當時，結論也成立.

由①②，可知， 對一切正整數都成立.

（3）由（2）知， ，

于是所證明的不等式即為

（�。┫茸C明：

因為，所以，從而，

即，所以

（ⅱ）再證明

設函數， ，則， .

因為在區間上為增函數，

所以當時， ，

從而在區間上為單調遞減函數，

因此對于一切都成立，因為當時， ，

所以

綜上所述，對所有的，均有成立.