Question

【題目】已知長方體中, 為的中點,如圖所示.

(1) 證明: 平面;

(2) 求平面與平面所成銳二面角的大小的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2) .

【解析】試題分析：

(1)連接交于,易知,可得平面；

(2) 平面即是平面,過平面上點作的垂線于,過點作直線的垂線于,連接,證明即是平面與平面所成銳二面角的平面角,求解易得結果；

向量法:(1) 以所在直線分別為軸,以為坐標原點,建立空間直角坐標系,求出平面的一個法向量,證明，則可得結論；

(2)求出平面的一個法向量,再利用向量的夾角公式求解即可.

試題解析：

(1)連接交于,因為在長方體中,所以

為的中點,又為的中點

所以在中是中位線,所以,

又平面平面,

所以平面;

(2)因為在長方體中,所以,

平面即是平面,過平面上

點作的垂線于,如平面圖①,

平面圖①

因為在長方體中, 平面平面,

所以, ,所以平面于.

過點作直線的垂線于,如平面圖②,

平面圖②

連接,由三垂線定理可知, .

由二面角的平面角定義可知,在中,

即是平面與平面所成銳二面角的平面角.

因長方體中, ,在平面圖①中,

,

,

在平面圖②中,由相似可知,

所以=2,

,

所以平面與平面所成銳二面角的大小的余弦值為.