Question

已知向量

m

=(3sinA，cosA)，

n

=(

1

3

cosB，sinB)，

m

•

n

=sin2C，且A、B、C分別為△ABC三邊a、b、c所對的角．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA，sinB，sinC成等比數列，且

CA

•

CB

=18，求c的值．

Answer 1

分析：（1）首先由題意得到sinAcosB+cosAsinB=sin2C，由sin[180°-（A+B）]=sinC得出sinC=sin2C，進而得到cosC=

1

2

，從而求出角C的度數；
（2）根據等差數列性質，得出sin²C=sinAsinB，進而求正弦定理得到c²=ab，由

CA

•

CB

=18能夠求得ab=36，即可求出c的值．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

=（3sinA，cosA），

n

=(

1

3

cosB，sinB)，

m

•

n

=sin2C
∴sinAcosB+cosAsinB=sin2C即sinC=sin2C（3分）
∵sinC≠0∴cosC=

1

2

又C為三角形的內角，∴C=

π

3

（5分）
（Ⅱ）∵sinA，sinC，sinB成等比數列，∴sin²C=sinAsinB（6分）
∴c²=ab又

CA

•

CB

=18（7分）
∴abcosC=18（8分）
∴ab=36故c²=36∴c=6（10分）

點評：本題考查了三角函數化簡求值、等比數列的性質以及正弦定理等知識，在三角形中尤其要注意內角和180°的靈活運用．屬于基礎題．