Question

【題目】如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD= ，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中點，O是AC與BE的交點．將△ABE沿BE折起到圖2中△A1BE的位置，得到四棱錐A1﹣BCDE．
（Ⅰ） 證明：CD⊥平面A1OC；
（Ⅱ） 若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC與平面A1CD夾角（銳角）的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）在圖1中，∵AB=BC=1，AD=2，E是AD的中點，∠BAD= ， ∴BE⊥AC，
即在圖2中，BE⊥OA1 ， BE⊥OC，
則BE⊥平面A1OC；
∵CD∥BE，
∴CD⊥平面A1OC．
解：（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，
由（Ⅰ）知BE⊥OA1 ， BE⊥OC，
∴∠A1OC為二面角A1﹣BE﹣C的平面角，
∴∠A1OC= ，
如圖，建立空間坐標系，

∵A1B=A1E=BC=ED=1．BC∥ED
∴B（ ，0，0），E（﹣ ，0，0），A1（0，0， ），C（0， ，0），
=（﹣ ， ，0）， =（0， ，﹣ ）， = =（﹣ ，0，0），
設平面A1BC的法向量為 =（x，y，z），平面A1CD的法向量為 =（a，b，c），
則 ，得 ，令x=1，則y=1，z=1，即 =（1，1，1），
由 ，得 ，取b=1，得 =（0，1，1），
則cos＜ ， ＞= = = ，
∴平面A1BC與平面A1CD夾角（銳角）的余弦值為 ．
【解析】（Ⅰ）根據線面垂直的判定定理即可證明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，建立空間坐標系，利用向量法即可求平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面垂直的判定(一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想)．