Question

【題目】已知圓，點，點是圓上任意一點，線段的垂直平分線交于點，設動點的軌跡為.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）設直線與軌跡交于兩點， 為坐標原點，若的重心恰好在圓上，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（1）如圖，通過|QP|=|QN|，|MQ|+|QN|=|MP|=4，可知點Q的軌跡是以M、N為焦點，長軸長等于4的橢圓，即得橢圓C的方程；（2）設點G（x1，y1），H（x2，y2），聯立直線l與橢圓C的方程，由韋達定理得x1+x2，從而可得y1+y2，及△GOH的重心的坐標并將其代入圓的方程，通過計算得＜1+4k2（k≠0），利用不等式即得實數m的取值范圍．

解析：

（Ⅰ）如圖，

故點的軌跡是以為焦點，長軸長等于4的橢圓

所以橢圓的方程為 ．

（Ⅱ）設點

方程聯立 得，

，

所以的重心的坐標為

整理得： ①

依題意 得 ②

由①、②易得

設，則

，當且僅當取等號

所以實數的取值范圍是 .