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【題目】已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，點在線段上.

（Ⅰ）若為的中點，求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）證明：存在點，使得平面，并求的值.

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）設，根據平面幾何知識得為平行四邊形，即得，再根據線面平行判定定理得結果，（Ⅱ）建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組解得平面的一個法向量，根據向量數量積得法向量夾角，最后根據二面角與向量夾角關系得結果，（Ⅲ）設，根據題意得與平面法向量，列式可得M坐標，代入即得的值.

（Ⅰ）設，連結，

因為正方形，所以為中點

又矩形,為的中點

所以且

所以為平行四邊形

所以

又平面，平面

所以平面

（Ⅱ）以為原點，分別以為軸建立坐標系

則

設平面的法向量為，

由得

則

易知平面的法向量

由圖可知二面角為銳角

所以二面角的余弦值為

（Ⅲ）設，則

若平面，則，即

所以解得所以

所以

練習冊系列答案
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【題目】已知橢圓：，其中，點是橢圓的右頂點，射線：與橢圓的交點為.

（1）求點的坐標；

（2）設橢圓的長半軸、短半軸的長分別為、，當的值在區間中變化時，求的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，以為焦點，為頂點且開口方向向左的拋物線過點，求實數的取值范圍.

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【題目】在平面直角坐標系中，對于點，若函數滿足：，都有，就稱這個函數是點的“限定函數”．以下函數：①，②，③，④，其中是原點的“限定函數”的序號是______．已知點在函數的圖象上，若函數是點的“限定函數”，則的取值范圍是______．

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【題目】某商場營銷人員進行某商品的市場營銷調查時發現，每回饋消費者一定的點數，該商品每天的銷量就會發生一定的變化，經過試點統計得到以下表：

反饋點數t

1

2

3

4

5

銷量（百件）/天

0.5

0.6

1

1.4

1.7

（Ⅰ）經分析發現，可用線性回歸模型擬合當地該商品銷量（千件）與返還點數之間的相關關系.試預測若返回6個點時該商品每天的銷量；

（Ⅱ）若節日期間營銷部對商品進行新一輪調整.已知某地擬購買該商品的消費群體十分龐大，經營銷調研機構對其中的200名消費者的返點數額的心理預期值進行了一個抽樣調查，得到如下一份頻數表：

返還點數預期值區間

（百分比）

[1,3)

[3,5)

[5,7)

[7,9)

[9,11)

[11,13)

頻數

20

60

60

30

20

10

將對返點點數的心理預期值在和的消費者分別定義為“欲望緊縮型”消費者和“欲望膨脹型”消費者，現采用分層抽樣的方法從位于這兩個區間的30名消費者中隨機抽取6名，再從這6人中隨機抽取3名進行跟蹤調查，求抽出的3人中至少有1名“欲望膨脹型”消費者的概率.

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【題目】已知方程的曲線是圓C，

（1）若直線l：與圓C相交于M、N兩點，且（O為坐標原點），求實數m的值；

（2）當時，設T為直線n：上的動點，過T作圓C的兩條切線TG、TH，切點分別為G、H，求四邊形TGCH而積的最小值.

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【題目】已知空間幾何體中，與均為邊長為的等邊三角形，為腰長為的等腰三角形，平面平面，平面平面.

（1）試在平面內作一條直線，使直線上任意一點與的連線均與平面平行，并給出詳細證明

（2）求點到平面的距離

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【題目】已知點F是拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點，若點P（x0，4）在拋物線C上，且.

（1）求拋物線C的方程；

（2）動直線l：x＝my+1（mR）與拋物線C相交于A，B兩點，問：在x軸上是否存在定點D（t，0）（其中t≠0），使得kAD+kBD＝0，（kAD，kBD分別為直線AD，BD的斜率）若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由.

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【題目】如圖，三角形ABC為直角三角形，且，，E，F分別為AB，AC的中點，G，H分別為BE，AF的中點（如圖一），現在沿EF將三角形AEF折起至，連接，，GH（如圖二）.

（1）證明：平面；

（2）當平面平面EFCB時，求異面直線GH與EF所成角的余弦值.

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【題目】如圖，直三棱柱中， 是的中點.

（1）證明： 平面；

（2）若， ，求點到平面的距離.

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