Question

【題目】已知橢圓：，其中，點是橢圓的右頂點，射線：與橢圓的交點為.

（1）求點的坐標；

（2）設橢圓的長半軸、短半軸的長分別為、，當的值在區間中變化時，求的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，以為焦點，為頂點且開口方向向左的拋物線過點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）聯立方程組，再求解即可；

（2）由橢圓的幾何性質可得，，再解不等式即可；

（3）先求出拋物線的方程為，由點在拋物線上可得，再令，則①，其中，則問題可轉化為拋物線①在區間上與橢圓有一個交點的充要條件是：，再求解即可.

解：（1）解方程組，

得，

所以；

（2）因為，，所以橢圓的焦點在軸上，，，

由條件，得：，所以；

（3）由題意得：，且拋物線焦點與頂點的距離為，

設拋物線方程為：，那么，

故拋物線的方程為，

因為點在拋物線上，所以，

，

設，因為，所以，

令①，其中，

拋物線①開口向上，其對稱軸，

拋物線①在區間上與橢圓有一個交點的充要條件是：，

即，所以，

所以的取值范圍是.