Question

【題目】過拋物線y2＝4x焦點F的直線交該拋物線于A,B兩點,且|AB|＝4,若原點O是△ABC的垂心,則點C的坐標為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

由題意設直線AB的方程,與拋物線聯立求出兩根之和,由拋物線的性質可得弦長|AB|的表達式,再由題意可得參數的值,進而求出直線的方程,代入拋物線的方程求出A,B的坐標,由O為三角形ABC的垂心可得C在x軸上,設C的坐標,由OA⊥BC,可得數量積為0,求出C點的坐標．

解：顯然直線AB的斜率不為0,

由題意設直線AB的方程為：x＝my+1,設A（x1,y1）,B（x2,y2）,

聯立直線AB與拋物線的方程,

整理可得y2﹣4my﹣4＝0,y1+y2＝4m,所以x1+x2＝4m2+2,

由拋物線的性質可得|AB|＝x1+x2+2＝4m2+4,

由題意可得4m2+4＝4,所以m＝0,即直線AB垂直于x軸,

所以可得A（1,2）,B（1,﹣2）,

因為原點O是△ABC的垂心,所以C在x軸上,設C（a,0）,可得AO⊥BC,即0

即（1,2）（1﹣a,﹣2）＝0,整理可得：1﹣a﹣4＝0,解得a＝﹣3,

所以C的坐標為：,

故答案為：．