Question

【題目】正方體的棱長為1，分別為的中點.有下述四個結論：①直線與直線垂直；②直線與平面平行；③平面截正方體所得的截面面積為；④直線與直線所成角的正切值為；其中所有正確結論的編號是（ ）

A.②③B.②④C.①③D.③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

①利用線線平行，將與的位置關系轉換為判斷與的位置關系；②作出輔助線：取的中點，連接、，然后利用面面平行判斷；③作出截面，再根據梯形的面積公式求需要的線段長；④利用平移的思想，將兩條異面直線平移在同一個平面內，然后結合余弦定理求夾角的余弦值，再轉化為正切值．

對于①，因為，若，則，從圖中可以看出，

與相交，但不垂直，所以①錯誤；

對于②，如圖所示，取的中點，連接、，則有，，

因為，，所以平面平面．

又因為平面，所以平面，即②正確；

對于③，如圖所示，連接，，延長，交于點，

因為，分別為，的中點，所以，所以、、、四點共面，所以截面即為梯形．

因為，所以，即，所以

又，所以即，，

所以等腰△的高，梯形的高為，

所以梯形的面積為，所以③正確；

對于④，因為，所以直線與直線所成角即為所求．

在三角形中，，由余弦定理得，，

因為直線的夾角范圍為，，所以直線與直線所成角的正切值為3．所以④錯誤．

故選：．