Question

【題目】[選修4-4：坐標系與參數方程]

在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為 （α為參數），以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρsin（θ+ ）=2 ．
（1）寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程；
（2）設點P在C1上，點Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：曲線C1的參數方程為 （α為參數），

移項后兩邊平方可得 +y2=cos2α+sin2α=1，

即有橢圓C1： +y2=1；

曲線C2的極坐標方程為ρsin（θ+ ）=2 ，

即有ρ（ sinθ+ cosθ）=2 ，

由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，

即有C2的直角坐標方程為直線x+y﹣4=0；

（2）

解：由題意可得當直線x+y﹣4=0的平行線與橢圓相切時，

|PQ|取得最值．

設與直線x+y﹣4=0平行的直線方程為x+y+t=0，

聯立 可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，

由直線與橢圓相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，

解得t=±2，

顯然t=﹣2時，|PQ|取得最小值，

即有|PQ|= = ，

此時4x2﹣12x+9=0，解得x= ，

即為P（ ， ）．

另解：設P（ cosα，sinα），

由P到直線的距離為d=

= ，

當sin（α+ ）=1時，|PQ|的最小值為 ，

此時可取α= ，即有P（ ， ）．

【解析】（1）運用兩邊平方和同角的平方關系，即可得到C1的普通方程，運用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及兩角和的正弦公式，化簡可得C2的直角坐標方程；（2）由題意可得當直線x+y﹣4=0的平行線與橢圓相切時，|PQ|取得最值．設與直線x+y﹣4=0平行的直線方程為x+y+t=0，代入橢圓方程，運用判別式為0，求得t，再由平行線的距離公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐標．
另外：設P（ cosα，sinα），由點到直線的距離公式，結合輔助角公式和正弦函數的值域，即可得到所求最小值和P的坐標．