Question

【題目】已知函數,為常數,當時,有三個極值點,,(其中).

（1）求實數的取值范圍;

（2）求證:.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）函數函數的定義域為,由,得,令,得是一個根,要使在上有三個極值點,,,則有三個解,結合已知,即可求得答案;

（2）由(1)知,是方程在內的個解, ,令,,,即,要證.只要證,即可求得答案.

（1）函數函數的定義域為,

由,得,

令,得是一個根,要使在上有三個極值點,,,

則有三個解,所以在必有個解,.

,

令,則,

由,得,

由,得,

在上單調遞減,上單調遞增,

,當時,,,

為了滿足題意,必有,

的取值范圍為.

（2）由(1)知,是方程在內的個解,

,,

,

令,,

則,即,

要證.

只要證

,

,

結合函數的圖像知,

兩點,連線的斜率比兩點,連線的斜率小,

即只要證:,即:,().

令(),

,

在單調遞減,

,

.