Question

【題目】設是曲線上兩點，兩點的橫坐標之和為4，直線的斜率為2.

（1）求曲線的方程；

（2）設是曲線上一點，曲線在點處的切線與直線平行，且，試求三角形的面積.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由題意設出直線方程,并設.聯立直線與拋物線方程,用韋達定理求得,即可得曲線的方程;

（2）將曲線C的方程變形,求得導函數.根據題意可求得切點M的坐標.聯立直線與拋物線,結合韋達定理可得.結合直線方程可表示出.利用平面向量數量積定義,表示出.根據即可得.所以可得直線方程.結合弦長公式即可求得,利用點到直線距離公式可得點到直線的距離,進而求得三角形的面積.

（1）設直線方程為：

則,

則,

所以

即曲線C的方程為；

（2）設,曲線,

變形可得,則

曲線在點處的切線與直線平行可得：

,所以,

,化簡可得

則

,

,

,即

∴

直線方程為：

弦長,

高為點到直線的距離,

所以