Question

【題目】已知橢圓：的離心率，且直線與橢圓有且只有一個公共點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設直線與軸交于點，過點的直線與橢圓交于不同的兩點，若，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）結合離心率的值，可將橢圓方程化為，將橢圓方程與直線聯立，可得到關于的一元二次方程，令，可求出的值，進而求得橢圓方程；

（2）求出點、的坐標，可求得的值，①若直線的斜率不存在，可求得坐標，進而求出的值；②若直線的斜率存在，設出直線的方程，與橢圓方程聯立，可得到關于的一元二次方程，結合根與系數關系，可得到的表達式，由，可求得的取值范圍，結合①②，可求出答案.

（1）由題意，，所以，，則橢圓方程可化為：，

聯立，消去得，，

則，解得，則，，

故橢圓方程為：.

（2）直線中，令，得，即，

由（1）得，解得，，即，則.

若直線的斜率不存在，則直線為，可知，，則，由，可得；

若直線的斜率存在，設直線的方程為，，，聯立，消去得，

則，整理得，

，，

所以，

因為，所以，，即，

所以.

綜上所述，實數的取值范圍為.