Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知中心在坐標原點，焦點在坐標軸上的橢圓的右焦點為，且離心率，過點且斜率為的直線交橢圓于點，兩點，為的中點，過作直線的垂線，直線與直線相交于點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）證明：點在一條定直線上；

（3）當最大時，求的面積.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）由焦點坐標、離心率和橢圓關系可構造方程組求得，進而得到橢圓方程；

（2）設，與橢圓方程聯立得到韋達定理的形式，進而得到中點的坐標，進而得到直線方程，與直線方程聯立后可求得點坐標，知點橫坐標為定值，從而得到結論；

（3）利用直線和的斜率可結合兩角和差正切公式表示出，利用基本不等式可求得的最大值，由取等條件可得此時的值和點坐標；利用弦長公式和點到直線距離公式分別求得三角形的底和高，進而得到所求面積.

（1）橢圓的右焦點為，.

又，，.

橢圓的標準方程為：.

（2）設，，中點，直線：，

聯立方程組，化簡得：，

，，

將代入直線的方程，得點的坐標為，

，直線的方程為.

直線過橢圓的右焦點且與直線垂直，直線的方程為.

解方程組得：，

點在定直線上.

（3）設直線的傾斜角為，直線的傾斜角為.

由（2）可知：，.

.

當且僅當，即時取最大值，此時最大.

此時直線方程為，點為.

由（2）可得：，，，

弦長，到直線的距離，

.