Question

【題目】已知橢圓 的一個焦點與拋物線 的焦點F重合，且橢圓短軸的兩個端點與F構成正三角形．
（1）求橢圓的方程；
（2）若過點（1，0）的直線l與橢圓交于不同兩點P、Q，試問在x軸上是否存在定點E（m，0），使 恒為定值？若存在，求出E的坐標及定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知拋物線的焦點 ，∴

又∵橢圓的短軸的兩個端點與F構成正三角形，∴b=1，

∴橢圓的方程為

（2）解：當直線l的斜率存在時，設其斜率為k，則l的方程為：y=k（x﹣1）

代入橢圓方程，消去y，可得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0

設P（x1，y1），Q（x2，y2），則

∵

∴ =m2﹣m（x1+x2）+x1x2+y1y2= = =

= = …

當 ，即 時， 為定值

當直線l的斜率不存在時，

由 可得 ，∴

綜上所述，當 時， 為定值

【解析】（1）求出拋物線的焦點坐標，可得c，再求出b的值，即可求橢圓的方程；（2）分類討論，設出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，結合向量的數量積公式，即可求得結論．