Question

【題目】設f（x）是定義在R上的奇函數，且當x≥0時，f（x）=x2 ， 若對任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，則實數a的取值范圍是

Answer 1

【答案】（﹣∞，﹣5]
【解析】∵當x≥0時，f（x）=x2 ，
∴此時函數f（x）單調遞增，
∵f（x）是定義在R上的奇函數，
∴函數f（x）在R上單調遞增，
若對任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，
則x+a≥3x+1恒成立，
即a≥2x+1恒成立，
∵x∈[a，a+2]，
∴（2x+1）max=2（a+2）+1=2a+5，
即a≥2a+5，
解得a≤﹣5，
即實數a的取值范圍是（﹣∞，﹣5]；
所以答案是：（﹣∞，﹣5]；
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的性質的相關知識，掌握函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集，以及對函數奇偶性的性質的理解，了解在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．