Question

【題目】如圖，在四棱錐中， 底面，底面為直角梯形， ， ， ， 為的中點，平面交于點.

（1）求證： ；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）二面角的余弦值

【解析】試題分析：（1）先根據等腰三角形和已知推導出，從而，再由，得平面，由此證明；（2）以坐標原點， 為軸， 為軸， 為軸，建立空間直角坐標系分別求出平面與平面的一個法向量，根據空間向量夾角余弦公式能求二面角的余弦值.

試題解析：證明：（1）因為， 分別為， 的中點， ，所以.

因為，所以.

因為底面，所以.

因為，所以平面.

所以.

因為，所以平面

因為平面，所以.

（2）如圖，以為坐標原點，建立空間直角坐標系.

則， ， ， ， .

由（1）可知， 平面，

所以平面的法向量為.

設平面的法向量為

因為， ，

所以即

令，則， ，

所以，所以

所以二面角的余弦值.

【方法點晴】本題主要考查利用空間向量求二面角、線面垂直的判定及性質，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.