Question

【題目】已知函數.

（1）若曲線在處的切線的斜率為3，求實數的值；

（2）若函數在區間上存在極小值，求實數的取值范圍；

（3）如果的解集中只有一個整數，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）先求出，利用可求.

（2）因函數在區間上存在極小值，故在上有解，利用求根公式求出的較大的根，它在區間中，從而得到的取值范圍，

（3）利用導數可得當時，為上的增函數，而，故無整數解；當時，因在上有兩個不同的解且，所以在上為增函數，在上為減函數，在上為增函數，結合可以得到，從而得到的取值范圍.

（1）由題意，，

由題意知，，所以，解得.

（2）令，所以，所以（舍負），

因為函數在上存在極小值，所以，

解之得，

經檢驗，當時，符合題意，

所以.

（3）①當，即時，恒成立，

在上為增函數，.

所以當時，，所以當時，，所以無整數解；

②當，即或時，

若，則，同①可得無整數解；

若，即在上有兩個不同的解且，

當時，，在上為增函數；

當時，，在上為減函數；

當時，，在上為增函數，

而，所以在上無解，故在上只有一個整數解，

故，即，

解得，

綜上，.