Question

【題目】設拋物線的焦點為F，準線為l，A為C上一點，已知以F為圓心，FA為半徑的圓F交l于M.N點.

（1）若，的面積為，求拋物線方程；

（2）若A.M.F三點在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個公共點，求坐標原點到直線n、m距離的比值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由拋物線的定義，以及圓的對稱性可得為等邊三角形，可由其高線求得邊長，進而表達出面積，列方程解得即可求得拋物線方程.

（2）由A.M.F三點共線，可得直線斜率，和直線方程；根據直線n與C只有一個公共點，設出直線方程，聯立拋物線方程，，可求得方程；據此利用點到直線距離公式求得距離之比.

（1）由對稱性以及可知

是等邊三角形.

又F點到MN的距離為，故，

由拋物線定義知：點A到準線l的距離

又.

故拋物線方程為：.

（2）由對稱性設，則

點A，M關于點F對稱，得，

得：，直線m斜率，

所以直線m方程為.

∵，設直線n方程為：，

又因為直線n與拋物線只有一個公共點，

所以，消去得，

由，得

直線，

坐標原點到n，m距離的比值為.