Question

【題目】如圖①所示，四邊形為等腰梯形，，且于點為的中點．將沿著折起至的位置，得到如圖②所示的四棱錐.

（1）求證：平面；

（2）若平面平面，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）取的中點，連接，根據中位線，且，而，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面；（2）以點為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，計算平面與平面的法向量，利用兩個法向量求得二面角的余弦值為.

試題解析：

（1）取的中點，連接．

∵為的中點，

∴，且，

∵圖①中四邊形為等腰梯形，，且，

∴，

∴，

∴四邊形為平行四邊形，∴，

∵平面平面，

∴平面

（2）易證兩兩垂直，故以點為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，

∴，

所以，設平面的法向量為．

則令，得，

顯然為平面的一個法向量，

所以，

由圖知平面與平面所成的二面角為銳角，所以所求的余弦值為．