【題目】設函數.
(Ⅰ)若,求
在區間[-1,2]上的取值范圍;
(Ⅱ)若對任意,
恒成立,記
,求
的最大值.
【答案】( Ⅰ) ;(Ⅱ) a-b的最大值是e.
【解析】試題分析:
(Ⅰ)題意就是要求函數在區間
上的最大值和最小值,為此求出導函數
,求出
的解,確定函數在
上的單調性,求出極值和區間端點處的函數值,比較可得最大值和最小值,即值域;(Ⅱ)由
,即
恒成立,可知
,而
,易知
,即
,而
時,對兩個參數
分離一個出來,即
,這樣
,下面我們只要求
的最大值,同樣利用導數
可得
,同樣由導數知識求得函數
的最大值即為
最大值.
試題解析:
(Ⅰ)當時,
,
,
的根是
,且
當時,
,當
時,
,
所以在(0,2)上單調遞增,在(-1,0)上單調遞減.
所以,
,
所以在區間[-1,2]上的取值范圍是
.
(Ⅱ)恒成立,即
恒成立,易知
,
若,則
,即
,
若,由
恒成立,即
恒成立,
即恒成立,
令,則
,當
時,
,
當時,
,當
時,
,所以
在
上單調遞減,在
上單調遞增.
所以,
從而,,令
,
因為,,
所以,是
的極大值,
所以,故
的最大值是
.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知△OAB的頂點坐標為O(0,0),A(2,9),B(6,﹣3),點P的橫坐標為14,且 ,點Q是邊AB上一點,且
.
(1)求實數λ的值與點P的坐標;
(2)求點Q的坐標;
(3)若R為線段OQ上的一個動點,試求 的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖所示, 是某海灣旅游區的一角,其中
,為了營造更加優美的旅游環境,旅游區管委會決定在直線海岸
和
上分別修建觀光長廊
和AC,其中
是寬長廊,造價是
元/米,
是窄長廊,造價是
元/米,兩段長廊的總造價為120萬元,同時在線段
上靠近點
的三等分點
處建一個觀光平臺,并建水上直線通道
(平臺大小忽略不計),水上通道的造價是
元/米.
(1) 若規劃在三角形區域內開發水上游樂項目,要求
的面積最大,那么
和
的長度分別為多少米?
(2) 在(1)的條件下,建直線通道還需要多少錢?
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數f(x)=sinx+sin(x+ ),x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的最大值和最小值;
(3)若f(α)= ,求sin 2α的值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知: 、
、
是同一平面內的三個向量,其中
=(1,2)
(1)若| |=2
,且
∥
,求
的坐標;
(2)若| |=
,且
+2
與2
﹣
垂直,求v與
的夾角θ.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數,曲線
在點
處的切線與直線
垂直(其中
為自然對數的底數).
(I)求的解析式及單調遞減區間;
(II)是否存在常數,使得對于定義域內的任意
恒成立?若存在,求出
的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在四棱柱中,
底面
,底面
為菱形,
為
與
交點,已知
,
.
(I)求證:平面
.
(II)在線段上是否存在一點
,使得
平面
,如果存在,求
的值,如果不存在,請說明理由.
(III)設點在
內(含邊界),且
,求所有滿足條件的點
構成的圖形,并求
的最小值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知關于x的方程2x2﹣( +1)x+m=0的兩根為sinθ和cosθ,θ∈(0,π).求:
(1)m的值;
(2)+
的值;
(3)方程的兩根及此時θ的值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓:
的離心率為
,
為橢圓
的右焦點,
,
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設為原點,
為橢圓上一點,
的中點為
,直線
與直線
交于點
,過
且平行于
的直線與直線
交于點
.求證:
.
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