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【題目】如圖所示，已知多面體中，四邊形為菱形，為正四面體，且.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）通過證明平面平面來證明平面；

（2）如圖，以菱形的兩條對角線所在直線分別為x，y軸建立空間直角坐標系，利用向量法計算二面角的余弦值.

（1）證明：因為四邊形為菱形，

所以，

又平面，平面，所以平面，

同理可得平面，

因為平面，，

所以平面平面

因為平面，所以平面.

（2）以菱形的兩條對角線所在直線分別為x，y軸建立空間直角坐標系，如圖所示：

設，則，

因為為正四面體，所以點E坐標為，

，

因為平面平面，

所以平面與平面的法向量相同.

設平面的一個法向量為，則

，即

可取.

可取為平面的法向量.

所以，

所以二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
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分組（單位：千步）

頻數

60

240

100

60

20

18

0

2

（1）請估算這一天小王朋友圈中好友走路步數的平均數（同一組中數據以這組數據所在區間中點值作代表）；

（2）若用表示事件“走路步數低于平均步數”，試估計事件發生的概率；

（3）若稱每天走路不少于8千步的人為“健步達人”，小王朋友圈中歲數在40歲以上的中老年人共有300人，其中健步達人恰有150人，請填寫下面列聯表.根據列聯表判斷，有多大把握認為，健步達人與年齡有關？

健步達人

非健步達人

合計

40歲以上

不超過40歲

合計

附：.

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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