Question

在二項式(

3	x

-

1

2 3 x

)n的展開式中，前三項系數的絕對值成等差數列
（1）求n的值；
（2）求展開式中二項式系數最大的項；
（3）求展開式中項的系數最大的項．

Answer 1

分析：（1）前三項系數的絕對值成等差數列，可得 

C

0 n

+

1

4

C

2 n

=2•

1

2

C

1 n

，由此解得 n的值．
（2）由于第r+1項的二項式系數為

C

r 8

，故當r=4時，二項式系數最大，由此求得二項式系數最大的項．
（3）研究系數絕對值即可，

C r 8 ( 1 2 )r≥ C r+1 8 ( 1 2 )r+1 C r 8 ( 1 2 )r≥ C r-1 8 ( 1 2 )r-1

，解得2≤r≤3，結合通項公式可得第三項的系數最大．

解答：解：（1）二項式(

3	x

-

1

2 3 x

)n的展開式中，前三項系數的絕對值成等差數列，
∴

C

0 n

+

1

4

C

2 n

=2•

1

2

C

1 n

，即 n²-9n+8=0，解得 n=8；
（2）由于第r+1項的二項式系數為

C

r 8

，故當r=4時，二項式系數最大，故二項式系數最大的項為
T5=

C

4 8

•(-

1

2

)4=

35

8

．
（3）先研究系數絕對值即可，

C r 8 ( 1 2 )r≥ C r+1 8 ( 1 2 )r+1 C r 8 ( 1 2 )r≥ C r-1 8 ( 1 2 )r-1

，解得2≤r≤3，
故系數最大的項為第三項，即T3=7x

4

3

．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數、二項式的系數的定義和性質，屬于中檔題．