Question

在二項式(

3	x

-

1

2 3 x

)n的展開式中，前三項系數的絕對值成等差數列．
（1）求展開式的常數項；
（2）求展開式中各項的系數和．

Answer 1

分析：（1）根據題意，寫出展開式的通項，由“前三項系數的絕對值成等差數列”可得

C

0 n

，(

1

2

)

C

1 n

，(

1

2

)2

C

2 n

成等差數列，列方程可得n的值，在通項中，令

8-2r

3

=0，可得r=4，將其代入通項可得答案；
（2）由二項式各項系數和的求法，令x=1計算(

3	x

-

1

2 3 x

)n的大小，即可得答案．

解答：解：（1）展開式的通項為Tr+1=(-

1

2

)r

C

r n

x

n-2r

3

，r=0，1，2，…，n
由已知，

C

0 n

，(

1

2

)

C

1 n

，(

1

2

)2

C

2 n

成等差數列，
∴2×

1

2

C

1 n

=1+

1

4

C

2 n

，∴n=8．
要求常數項，令

8-2r

3

=0，可得r=4，
所以常數項為T5=

35

8

，
（2）在二項式(

3	x

-

1

2 3 x

)n中，令x=1可得，（1-

1

2

）⁸=

1

256

，
則展開式中各項系數和為

1

256

，

點評：本題考查二項式定理的應用，解題的關鍵在于根據三項系數的絕對值成等差數列，列出方程，求出n的值．