【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓
的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為
，兩準線之間的距離為8.點P在橢圓E上，且位于第一象限，過點F1作直線PF1的垂線l1,過點F2作直線PF2的垂線l2.
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）若直線l1，l2的交點Q在橢圓E上，求點P的坐標.
【答案】（1）∵橢圓E的離心率為
，∴
①.∵兩準線之間的距離為8，∴
②.聯立①②得
，∴
，故橢圓E的標準方程為
.
（2）設
，則
，由題意得
，整理得
，∵點在橢圓E上，∴
，∴
，∴
，故點P的坐標是
.
【解析】
解：（1）設橢圓的半焦距為c.
因為橢圓E的離心率為
，兩準線之間的距離為8，所以
，
，
解得
，于是
，
因此橢圓E的標準方程是
.
（2）由（1）知，
，
.
設
，因為點
為第一象限的點，故
.
當
時，
與
相交于
，與題設不符.
當
時，直線
的斜率為
，直線
的斜率為
.
因為
，
，所以直線
的斜率為
，直線
的斜率為
，
從而直線的方程：
， ①
直線
的方程：
. ②
由①②，解得
，所以
.
因為點
在橢圓上，由對稱性，得
，即
或
.
又
在橢圓E上，故
.
由
，解得
；
，無解.
因此點P的坐標為
.
數學奧賽暑假天天練南京大學出版社系列答案
南大教輔搶先起跑暑假銜接教程南京大學出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】張先生知道清晨從甲地到乙地有好、中、差三個班次的客車．但不知道具體誰先誰后．他打算：第一輛看后一定不坐，若第二輛比第一輛舒服，則乘第二輛；否則坐第三輛．問張先生坐到好車的概率和坐到差車的概率分別是（ ）
A.
、
B.
、
C. 、 
D.
、
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知等比數列{an}的首項a1= 
，公比q滿足q＞0且q≠1，又已知a1 ， 5a3 ， 9a5成等差數列；
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）令bn=log3 
，記Tn= 
，是否存在最大的整數m，使得對任意n∈N* ， 均有Tn＞ 
成立？若存在，求出m，若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在△ABC中，內角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，且a+b+c=8． （Ⅰ）若a=2，b= 
，求cosC的值；
（Ⅱ）若sinAcos2 
+sinBcos2 
=2sinC，且△ABC的面積S= 
sinC，求a和b的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知△ABC，若存在△A1B1C1 ， 滿足 
= 
= 
=1，則稱△A1B1C1是△ABC的一個“友好”三角形．在滿足下述條件的三角形中，存在“友好”三角形的是：（請寫出符合要求的條件的序號） ①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°；③A=75°，B=75°，C=30°；④A=75°，B=65°，C=45°．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】袋中有質地、大小完全相同的5個小球，編號分別為1，2，3，4，5，甲、乙兩人玩一種游戲．甲先摸出一個球．記下編號，放回后再摸出一個球，記下編號，如果兩個編號之和為偶數．則算甲贏，否則算乙贏．
（1）求甲贏且編號之和為6的事件發生的概率：
（2）試問：這種游戲規則公平嗎．請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一個盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個函數:
.
（Ⅰ）從中任意拿取
張卡片,其中至少有一張卡片上寫著的函數為奇函數,在此條件下,求兩張卡片上寫著的函數相加得到的新函數為奇函數的概率；
（Ⅱ）現從盒子中逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一張寫有偶函數的卡片則停止抽取,否則繼續進行,求抽取次數
的分布列和數學期望.
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