Question

【題目】定義在D上的函數f（x），若滿足：對任意x∈D，存在常數M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數，其中M稱為函數f（x）的上界．

（1）設，判斷f（x）在上是否是有界函數．若是，說明理由，并寫出f（x）所有上界的值的集合；若不是，也請說明理由．

（2）若函數g（x）＝1＋2x＋a·4x在x∈[0，2]上是以3為上界的有界函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）是有界函數, 所有上界的值的集合為,理由見解析；（2）.

【解析】

（1）先分析得到函數在上是增函數，所以，再利用有界函數的定義判斷得解.(2)由題得在上恒成立，所以．令，則，故在上恒成立，再分析函數的最值得解.

（1），則在上是增函數，

所以，

所以，

所以，所以是有界函數．

故所有上界的值的集合為．

（2）因為函數在上是以3為上界的有界函數，

所以在上恒成立，即，所以，所以．

令，則，故在上恒成立，

故，，

即．

故實數的取值范圍為．