Question

【題目】動點與點的距離和它到直線的距離相等，記點的軌跡為曲線

（1）求曲線的方程

（2）設點，動點在曲線上運動時，的最短距離為，求的值以及取到最小值時點的坐標

（3）設為曲線的任意兩點，滿足（為原點），試問直線是否恒過一個定點？如果是，求出定點坐標；如果不是，說明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）；；（3）恒過定點，理由見解析

【解析】

（1）由拋物線定義可知軌跡為拋物線，結合焦點坐標求得曲線方程；

（2）設，由兩點間距離公式可得到，結合二次函數的性質可知當時，取得最小值，從而構造方程求得；利用求得，從而得到點坐標；

（3）將直線方程與拋物線方程聯立可得坐標；由兩點連線斜率公式求得直線斜率，進而得到直線的方程，整理可得恒過的定點坐標.

（1）由拋物線定義可知，動點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線

曲線的方程為：

（2）設

當時，，解得：

此時

（3）由題意知，直線斜率均存在且均不為零，可記為

，與拋物線方程聯立得：

同理可得： 直線斜率為

直線方程為：

整理可得： 當，時等式恒成立

直線恒過點