Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面平面，，，，.

（Ⅰ）設分別為的中點，求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）

【解析】

（I）連接，利用平行四邊形的性質，結合三角形的中位線，證得，由此證得平面.

（II）取棱的中點，連接，根據等腰三角形的性質證得，根據面面垂直的性質定理證得平面，由此證得，再由證得平面.

（III）連接，結合（II）中證得的平面，判斷出為直線與平面所成的角，解三角形求得線面角的正弦值.

（Ⅰ）如圖，連接.

易知，.

又由，

可知.

因為平面，平面，

所以平面.

（Ⅱ）如圖，取棱的中點，連接.

依題意，得，

又因為平面平面，平面平面，

所以平面，又平面，

故.

又因為，，

所以平面.

（Ⅲ）如圖，連接.

由（Ⅱ）中平面，可知為直線與平面所成的角.

因為，，且為中點，

所以.

又，在中，，

所以.

所以直線與平面所成角的正弦值為.