Question

【題目】已知函數f（x）=log （ ）滿足f（﹣2）=1，其中a為實常數．
（1）求a的值，并判定函數f（x）的奇偶性；
（2）若不等式f（x）＞（ ）x+t在x∈[2，3]上恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）=log （ ）滿足f（﹣2）=1，

∴log （ ）=1，

∴ = ，

解得：a=﹣1，

∴f（x）=log （ ）的定義域（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）關于原點對稱；

又∵f（﹣x）=log （ ）=log （ ）=﹣log （ ）=﹣f（x），

故函數f（x）為奇函數

（2）解：若不等式f（x）＞（ ）x+t在x∈[2，3]上恒成立，

則t＜log （ ）﹣（ ）x在x∈[2，3]上恒成立，

設g（x）=log （ ）﹣（ ）x，

則g（x）在[2，3]上是增函數．

∴g（x）＞t對x∈[2，3]恒成立，

∴t＜g（2）=﹣

【解析】（1）根據f（﹣2）=1，構造方程，可得a的值，結合奇偶性的寶義，可判定函數f（x）的奇偶性；（2）若不等式f（x）＞（ ）x+t在x∈[2，3]上恒成立，則t＜log （ ）﹣（ ）x在x∈[2，3]上恒成立，構造函數求出最值，可得答案．