【題目】已知函數
.
（1）求函數
的單調區間和零點；
（2）若
恒成立，求
的取值范圍.
【答案】（1）單調遞減區間：
；單調遞增區間：
；零點為：
（2）
【解析】
（1）求導根據導函數正負得到單調區間；令
，再結合單調性可知唯一零點為；（2）將不等式轉化為
圖像恒在
上方，利用臨界狀態，即直線與相切的情況，求得相切時
；從而可構造出
，利用導數求得
，由此可得取值范圍.
（1）
令
，解得：
所以函數在
上單調遞減，在上單調遞增
單調遞減區間為，單調遞增區間為
令，解得：
所以函數的零點是
（2）畫出的大致圖像，如圖所示
設
，則
的圖像恒過點
設函數
的圖像在點
處的切線過點
所以
，
的圖像在處的切線方程為
將代入切線方程，得
整理得：
設
令
，得或
所以
在
，上單調遞增，在
上單調遞減
又
，
，
所以
是方程
的唯一解
所以過點且與的圖像相切的直線方程為
令，則
當
時，
；當
時，
又
，即在上恒成立
即函數的圖像恒在其切線的上方
數形結合可知，
的取值范圍
全優點練單元計劃系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，右焦點為
，左頂點為A，右頂點B在直線
上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設點P是橢圓C上異于A，B的點，直線
交直線
于點
，當點
運動時，判斷以
為直徑的圓與直線PF的位置關系，并加以證明．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】圓
的方程為：
，
為圓上任意一點，過作
軸的垂線，垂足為
，點
在
上，且
.
（1）求點的軌跡
的方程；
（2）過點
的直線與曲線交于
、
兩點，點
的坐標為
，
的面積為
，求的最大值，及直線
的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x.
(1)討論函數F(x)＝f(x)－g(x)的單調性；
(2)若方程f(x)＝g(x)在區間[
，e]上有兩個不等解，求a的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓O經過橢圓C：
=1（a＞b＞0）的兩個焦點以及兩個頂點，且點（b，
）在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l與圓O相切，與橢圓C交于M、N兩點，且|MN|=
，求直線l的傾斜角．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
依次滿足
（1）求點
的軌跡；
（2）過點
作直線
交以
為焦點的橢圓于
兩點，線段
的中點到
軸的距離為
，且直線與點的軌跡相切，求該橢圓的方程；
（3）在（2）的條件下，設點
的坐標為
，是否存在橢圓上的點
及以為圓心的一個圓，使得該圓與直線
都相切，如存在，求出點坐標及圓的方程，如不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，過橢圓E：
（a＞b＞0）的左焦點F1作x軸的垂線交橢圓E于P，Q兩點，點A，B是橢圓E的頂點，且AB∥OP，F2為右焦點，△PF2Q的周長為8．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過點F1作直線l與橢圓E交于C，D兩點，若△OCD的面積為
，求直線l的方程．
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