Question

【題目】已知橢圓的左焦點在拋物線的準線上，且橢圓的短軸長為2，分別為橢圓的左，右焦點，分別為橢圓的左，右頂點，設點在第一象限，且軸，連接交橢圓于點，直線的斜率為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若三角形的面積等于四邊形的面積，求的值；

（Ⅲ）設點為的中點，射線（為原點）與橢圓交于點，滿足，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

（I）根據拋物線的準線求得，根據短軸長求得，由此求得，進而求得橢圓方程.（II）設出直線的方程，聯立直線的方程和橢圓方程，求得點的坐標，令求得點坐標.利用三角形的面積公式計算出和的面積，根據題目已知條件，這兩個三角形的面積相等，由此列方程，解方程求得的值.（III）根據（II）求得點坐標，由此求得的斜率，設所在直線方程為，代入橢圓方程，求得點坐標，計算出到直線的距離，的長度，化簡得到，利用列方程，解方程求得的值.

解：（Ⅰ）由已知得，，故，橢圓方程為：，

（Ⅱ）設直線方程為∴

∴∴

∴，令∴

∴

∴

∵∴

（Ⅲ）由（II）和中點坐標公式，得，設所在直線方程為，則

，∴∴，

到直線的距離：，，

∴

即，

，化簡得，

∵，∴.