【題目】給定橢圓
，稱圓
為橢圓
的“伴隨圓”.已知點
是橢圓
上的點
（1）若過點
的直線
與橢圓
有且只有一個公共點，求
被橢圓
的伴隨圓
所截得的弦長：
（2）
是橢圓
上的兩點，設
是直線
的斜率，且滿足
，試問：直線
是否過定點，如果過定點，求出定點坐標，如果不過定點，試說明理由。
【答案】(1) 
(2)過原點
【解析】試題分析：（1）分析直線的斜率是否存在，若不存在不符合題意，當存在時設直線
，根據直線與圓的關系中弦心距，半徑，半弦長構成的直角三角形求解即可；（2）設直線
的方程分別為
，設點
，聯立
得得
同理
，計算
，同理
因為
，可得
，從而可證.
試題解析：
（1）因為點
是橢圓
上的點.
即橢圓
伴隨圓
得
同理
，計算
當直線
的斜率不存在時：顯然不滿足
與橢圓
有且只有一個公共點
當直接
的斜率存在時：設直線
與橢圓
聯立得
由直線
與橢圓
有且只有一個公共點得
解得
，由對稱性取直線
即
圓心到直線
的距離為
直線
被橢圓
的伴隨圓
所截得的弦長
（2）設直線
的方程分別為
設點
聯立
得
則
得
同理
斜率
同理
因為
所以
三點共線
目標測試系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】[選修4-4：坐標系與參數方程]
已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點處，極軸與
軸的非負半軸重合，直線
的參數方程為
（
為參數），曲線
的極坐標方程為
.
（1）寫出曲線
的直角坐標方程和直線
的普通方程；
（2）設
， 
分別是直線
與曲線
上的點，求
的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
是橢圓
的左、右焦點,點
在橢圓
上,且離心率為
(1)求橢圓
的方程；
(2)若
的角平分線所在的直線
與橢圓
的另一個交點為
為橢圓
上的一點,當
面積最大時,求點
的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點
,
為頂點的三角形的周長為
.
(1)求橢圓
的標準方程；
(2)設該橢圓
與
軸的交點為
, 
(點
位于點
的上方),直線
與橢圓
相交于不同的兩點
,求證:直線
與直線
的交點
在定直線上.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某省高中男生身高統計調查數據顯示：全省
名男生的身高服從正態分布
，現從該生某校高三年級男生中隨機抽取
名測量身高，測量發現被測學生身高全部介于
和
之間，將測量結果按如下方式分成
組：第一組
，第二組
，…，第六組
，下圖是按照上述分組方法得到的頻率分布直方圖.
（1）求該學校高三年級男生的平均身高；
（2）求這
名男生中身高在
以上（含
）的人數；
（3）從這
名男生中身高在
以上（含
）的人中任意抽取
人，該
中身高排名（從高到低）在全省前
名的人數記為
，求
的數學期望.
（附：參考數據：若
服從正態分布
，則
， 
， 
.）
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