Question

【題目】已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點,為頂點的三角形的周長為.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)設該橢圓與軸的交點為, (點位于點的上方),直線與橢圓相交于不同的兩點 ,求證:直線與直線的交點在定直線上.

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】試題分析：（1）由橢圓上的點和橢圓的左、右焦點,為頂點的三角形的周長為及離心率為，即可求出， ， 的值，從而可得橢圓的標準方程；（2）設, ,聯立直線與橢圓的方程，消去，結合韋達定理，可得及的值，分別表示出直線與直線的方程，聯立方程，即可得直線與直線的交點在定直線上.

試題解析：(1)由題意知,

又∵

∴，

∴橢圓的標準方程為

(2)設, ,則由聯立方程組，

化簡得,由

解得，由韋達定理,得，

直線的方程 ①

直線的方程 ②

聯立①②，得 ，即

∴直線與直線的交點在定直線上