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【題目】如圖，在四棱錐中， 分別是的中點，底面是邊長為2的正方形， ，且平面平面．

（1）求證：平面平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

【答案】（1）見解析（2）.

【解析】試題分析：（1）要證平面因平面，只要證平面，也就是證明和，后者可以由為等邊三角形得到，前者由平面得到（因為平面平面）.（2）要求銳二面角，因幾何體比較規則，可以建立空間直角坐標系計算兩個半平面的法向量的夾角.

解析：（1）由題， 為的中點，可得，∵平面平面， ，平面 平面， 平面， ∴平面.又∵平面，∴. ，∴平面.∴平面平面.

（2）取的中點， 的中點，連接，∵，∴.∵平面平面 平面，∴平面.分別以為軸建立空間直角坐標系，則， ，設平面 的法向量為，則.即.可取.同理，可得平面的法向量. .所以平面與平面所成銳二面角余弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在 中，內角的對邊分別為，已知，且， .

（1）求的面積.

（2）已知等差數列的公差不為零，若，且成等比數列，求的前項和.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】數列為遞增的等比數列, ，

數列滿足．

（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）求證： 是等差數列；

（Ⅲ）設數列滿足，且數列的前項和，并求使得對任意都成立的正整數的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為A藥，B藥)的療效，隨機地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥，這40位患者在服用一段時間后，記錄他們日平均增加的睡眠時間(單位：h)．試驗的觀測結果如下：

服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：

0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5

2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4

服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：

3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4

1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5

(1)分別計算兩組數據的平均數，從計算結果看，哪種藥的療效更好？

(2)根據兩組數據繪制莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好？

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】劉徽（約公元 225 年—295 年）是魏晉時期偉大的數學家，中國古典數學理論的奠基人之一，他的杰作《九章算術注》和《海島算經》是中國寶貴的古代數學遺產. 《九章算術·商功》中有這樣一段話：“斜解立方，得兩壍堵. 斜解壍堵，其一為陽馬，一為鱉臑.” 劉徽注：“此術臑者，背節也，或曰半陽馬，其形有似鱉肘，故以名云.” 其實這里所謂的“鱉臑（biē nào）”，就是在對長方體進行分割時所產生的四個面都為直角三角形的三棱錐. 如圖，在三棱錐中， 垂直于平面， 垂直于，且 ，則三棱錐的外接球的球面面積為__________.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，則（ⅰ）____________．

（ⅱ）給出下列三個命題：①函數是偶函數；②存在，使得以點為頂點的三角形是等腰三角形；③存在，使得以點為頂點的四邊形為菱形．

其中，所有真命題的序號是____________．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓過點，過右焦點且垂直于軸的直線截橢圓所得弦長是1．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設點分別是橢圓的左，右頂點，過點的直線與橢圓交于兩點（與不重合），證明：直線和直線交點的橫坐標為定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數的定義域為，值域為，即，若，則稱在上封閉.

（1）分別判斷函數， 在上是否封閉，說明理由；

（2）函數的定義域為，且存在反函數，若函數在上封閉，且函數在上也封閉，求實數的取值范圍；

（3）已知函數的定義域為，對任意，若，有恒成立，則稱在上是單射，已知函數在上封閉且單射，并且滿足 ，其中（），，證明：存在的真子集，

，使得在所有（）上封閉.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，為正三角形，,,,平面.

（Ⅰ）點在棱上，試確定點的位置，使得平面;

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

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