Question

【題目】已知函數滿足如下條件：

①函數的最小值為，最大值為9；

②且；

③若函數在區間上是單調函數，則的最大值為2．

試探究并解決如下問題：

（Ⅰ）求，并求的值；

（Ⅱ）求函數的圖象的對稱軸方程；

（Ⅲ）設是函數的零點，求的值的集合．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）由函數的最值結合三角函數的最值可求得，；由函數在區間上是單調函數，則的最大值為2，可得，根據即可得；由且，可得，驗證即可得；再由函數周期性即可得；

（Ⅱ）由題意結合三角函數的性質可令，化簡即可得解；

（Ⅲ）由題意可得，進而可得，

或，或，化簡后代入，分別求解即可.

（Ⅰ）因為，，

所以,,

所以，．

所以．

設的最小正周期為，

因為在區間上是單調函數，則的最大值為2，

所以，所以，所以即，

所以．

因為，所以，

所以，即．

因為，所以或．

若，則，此時，不合題意；

若，則，此時，符合題意；

所以．

所以．

因為的最小正周期為4，

所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．

令，得．

所以函數的對稱軸方程是．

（Ⅲ）令，則，所以函數的零點都滿足：

或．

因為，是函數的零點，所以，

或，或，

即，或，

或．

所以，

或，

或．

故的值的集合為.