Question

【題目】已知數列的前項和為，滿足.

（1）求證：數列等差數列；

（2）當時，記，是否存在正整數、，使得、、成等比數列？若存在，求出所有滿足條件的數對；若不存在，請說明理由；

（3）若數列、、、、、是公比為的等比數列，求最小正整數，使得當時，.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，有且只有一個為；（3）.

【解析】

（1）由得出，兩式相減，推導出，利用等差中項法可證得數列是等差數列；

（2）由，得出，求出、，可求出等差數列的通項公式，進而可得出，假設存在正整數、，使得，化簡得出，變形得出，對的取值進行分類討論，結合數列的單調性的、的值；

（3）求出、，可求出等差數列的通項公式，由題意得出的表達式，進而可得出，設，計算得出，，，，，，設，利用定義證明數列的單調性，由此可證得當時，，進而可證得結論成立.

（1）由題意得，兩式相減得，

則有，

所以.

因為，所以，故數列為等差數列；

（2）因為，，

所以，解得；，即，解得.

所以數列的公差為，所以，故.

假設存在正整數、，使得，，成等比數列，則，

于是（*），所以.

當時，，則，所以是方程（*）的一組解；

當且時，因為，

所以，數列在上單調遞減，

所以，此時方程（*）無正整數解.

綜上，滿足題設的數對有且只有一個，為；

（3）由題意得，解得，

故數列的公差，所以，

故，所以.

又因為，所以，即.

記，

則，，，，，，

猜想：當時，.

驗證如下：記，

則

，

所以數列單調遞增，故，

所以，故最小正整數的值為.