Question

【題目】已知函數.

（1）當時，討論函數的單調性；

（2）討論函數的零點個數.

Answer 1

【答案】（1）在上單調遞減，在上單調遞增（2）當時，無零點；當時，只有一個零點；當時，有兩個零點

【解析】

（1）當時，，令，，則可得到函數的單調性，進一步得到函數，則可得函數的單調區間.
（2）由題意有，當時，顯然無零點，當時，即的根的個數，即即，設，求出的導數，分析出的單調性，從而得出函數的零點的情況.

解：（1）函數的定義域為，

當時，

設，，則

令，則，令，則，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以的最小值為，所以，即.

令，則，令，則，

因此在上單調遞減，在上單調遞增.

（2）函數的零點個數，即的根的個數.

當時，在上恒有成立，所以無零點.

當時， ，即

即，設

設，

由，可得，，可得

所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以

所以當時，，當時，

在上單調遞減，在上單調遞增.

又當時，，所以，，則

即當時，.

又設，則.

令，得，，得.

所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，則.

所以

由洛必達法則有所以當時，，大致圖象如圖.

(或者由冪函數，指數函數，對數函數中，當時，指數函數的變化速度比冪函數和對數函數快得多，也可以說明以當時，)

當，即時，方程無實數根，即函數無零點.

當，即時，方程有1個實數根，即函數有1個零點.

當，即時，方程無實數根，即函數無零點.

當，即時，方程有2個實數根，即函數有2個零點.

綜上，當時，無零點；

當時，只有一個零點；

當時，有兩個零點.