Question

【題目】如圖，已知四棱錐的底面為菱形， ， ， .

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）要證明線線平行，可先轉化為證明線面平行，取的中點 ,連結 ，根據條件證明平面 ；（Ⅱ）根據垂直關系可證明平面 ，所以可以以點為原點， 為 軸建立空間直角坐標系，分別求平面 的法向量，根據 求解.

試題解析：（Ⅰ）證明：取中點，連結，

∵△為等腰三角形，∴，

又∵四邊形是棱形，∠，

∴是等邊三角形，∴，

又，∴平面，又平面，∴；

（Ⅱ）解：可求得： ， ，

∴，∴，

以為坐標原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，

則， ， ， ， ，

， ， ，

設平面的法向量為，則，即，

令，得，

設平面的法向量為，則，即，

令，得，

∴，

經觀察二面角的大小為鈍角，設為，∴．