Question

【題目】若函數在處的切線與直線平行，則實數____；

當a≤0時，若方程有且只有一個實根，則實數的取值范圍為_________.

Answer 1

【答案】 1

【解析】 (1)由f(x)=x3+3ax1,得到f′(x)=3x2+3a，

因為曲線在x=1處的切線與y=6x+6平行，

而y=6x+6的斜率為6，

所以f′(1)=6，即3+3a=6，解得a=1；

(2)令g(x)=x3+3ax16，

g′(x)=3x2+3a=3(x2+a)，

a=0時,g′(x)0,g(x)在R遞增，

而x→∞時,g(x)→∞,x→+∞時,g(x)→+∞，

故函數g(x)有且只有一個零點，

即方程f(x)=15有且只有一個實根，

a<0時,令g′(x)>0,解得： 或，

令g′(x)<0,解得： ，

則g(x)在 遞增,在遞減,在遞增，

故g(x)極大值 ，

解得： ，

綜上：-4<a0.