Question

【題目】已知函數有兩個極值點.

（Ⅰ）求的取值范圍；

（Ⅱ）設，是的兩個極值點，證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）證明見解析

【解析】

（Ⅰ）函數有兩個極值點等價于在上有兩個變號零點，再次求導，利用函數單調性，便可求出參數a的取值范圍。

（Ⅱ）令，并化簡求導，再利用單調性證明。

解：（Ⅰ）由，，得.

函數有兩個極值點等價于在上有兩個變號零點，

等價于在上有兩個變號零點.

令，則.

所以時，，單調遞增；

時，，單調遞減，所以.

當時，恒成立，在上單調遞減，不可能有兩個極值點，舍去；

當時，，，，，而，

由零點存在性定理得在和內分別存在一個變號零點，

此時有兩個極值點.

綜上，所求的取值范圍為.

（Ⅱ）因為，是的兩個極值點，所以，且.

由（Ⅰ）知，.

令，.

則，

由在恒成立，得時，，單調遞減.

又，所以時，，即.

所以，所以.由（Ⅰ）知在單調遞減，

所以，即.所以，即，

因為，所以，，所以.

即.