Question

【題目】【2018廣東深圳市高三一模】已知橢圓的離心率為，直線與橢圓有且只有一個交點．

（I）求橢圓的方程和點的坐標；

（II） 為坐標原點，與平行的直線與橢圓交于不同的兩點， ，求的面積最大時直線的方程．

Answer 1

【答案】（I）橢圓的方程為，點的坐標為；（II）或．

【解析】試題分析：(1) 根據橢圓的離心率為，直線與橢圓有且只有一個交點，結合性質 ，列出關于 、 、的方程組，求出 、 、，即可得結果；(2) 設直線的方程為，設， ，聯立消去，利用韋達定理，弦長公式以及點到直線距離公式與三角形面積公式可得，利用二次函數的性質可得結果.

試題解析：(1)由，得，故.

則橢圓的方程為.

由，消去，得.①

由，得.

故橢圓的方程為.

所以，所以點的坐標為；

(2)設直線的方程為，

設， ，聯立消去，得，

則有，

由，得，

.

設原點到直線的距離為.

則.

所以.

所以當時，即時， 的面積最大.

所以直線的方程為或.

【方法點晴】本題主要考查待定系數求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關系和數量積公式，屬于難題.用待定系數法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據條件判斷橢圓的焦點在軸上，還是在軸上，還是兩個坐標軸都有可能；②設方程：根據上述判斷設方程或 ；③找關系：根據已知條件，建立關于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設方程，即為所求.