Question

【題目】已知函數f（x）對于任意m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）﹣1，并且當x＞0時f（x）＞1．

（1）求證：函數f（x）在R上為增函數；

（2）若f（3）=4，解不等式f（a2+a﹣5）＜2．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）a∈(－3,2).

【解析】試題分析：（1）定義法：設x1，x2∈R，且x1＜x2，則f（x2）-f（x1）=f[（x2-x1）+x1]-f（x1），由已知可判斷其符號；
（2）令m=n=1可求得f（2），進而可得f（1）=2，利用單調性可去掉不等式中的符號“f”，轉化為具體不等式．

試題解析：

(1)設x1＜x2，∴x2－x1＞0. ∵當x＞0時，f(x)＞1，∴f(x2－x1)＞1.

f(x2)＝f((x2－x1)＋x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，

∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1＞0f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在R上為增函數．

(2)∵m，n∈R，不妨設m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1，f(2)＝2f(1)－1，

f(3)＝4f(2＋1)＝4f(2)＋f(1)－1＝43f(1)－2＝4，

∴f(1)＝2，f(2)＝2×2－1＝3，∴f(a2＋a－5)＜2＝f(1)．

∵f(x)在R上為增函數，∴a2＋a－5＜1－3＜a＜2，即a∈(－3,2)．