Question

【題目】某企業擬對某條生產線進行技術升級，現有兩種方案可供選擇：方案是報廢原有生產線，重建一條新的生產線；方案是對原有生產線進行技術改造．由于受諸多不可控因素的影響，市場銷售狀態可能會發生變化．該企業管理者對歷年產品銷售市場行情及回報率進行了調研，編制出下表：

市場銷售狀態		暢銷	平銷	滯銷
市場銷售狀態概率
預期平均年利潤（單位：萬元）	方案	700	400
	方案	600	300

（1）以預期平均年利潤的期望值為決策依據，問：該企業應選擇哪種方案？

（2）記該生產線升級后的產品（以下簡稱“新產品”）的年產量為（萬件），通過核算，實行方案時新產品的年度總成本（萬元）為，實行方案時新產品的年度總成本（萬元）為．已知，．若按（1）的標準選擇方案，則市場行情為暢銷、平銷和滯銷時，新產品的單價（元）分別為60，，，且生產的新產品當年都能賣出去．試問：當取何值時，新產品年利潤的期望取得最大值？并判斷這一年利潤能否達到預期目標．

Answer 1

【答案】（1）當時，應選擇方程；當時應選擇方程；（2）年產量為10萬件的情況下，可以達到甚至超過預期的平均年利潤．

【解析】

（1）根據表格數據計算出兩種方案的平均年利潤的期望值，比較可得；

（2）求出方案，按市場銷售狀態的新產品的年利潤的分布列，求出期望值，再用導數的知識求得最大值即可．

解：（1）∵，解得．

，

，

；

；．

∴當時，應選擇方程；當時應選擇方程；

當時，根據（1）的結果，應選擇方案，所以新產品的年度總成本為

．

（2）設市場行情為暢銷、平銷和滯銷時，新產品的年利潤分別為，和，

則，，，

∴的分布列為

	0.4	0.4	0.2

．

設，，

∴．

，．

∴在上單調遞增，在上單調遞減，

∴當時，取得最大值，即年產量為10萬件時，取得最大值，

此時（萬元）．

由（1）知，預期平均年利潤的期望（萬元）．

因為，所以在年產量為10萬件的情況下，可以達到甚至超過預期的平均年利潤．