Question

【題目】已知函數.

（1）若曲線在點處的切線斜率為1，求實數a的值；

（2）當時，求證：；

（3）若函數在區間上存在極值點，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）利用導數的幾何意義求解即可；

（2）利用導數得出函數的單調性，進而得出其最小值，即可證明；

（3）分類討論的值，利用導數得出的單調性，結合題意，即可得出實數a的取值范圍.

解：（1）因為，

所以.

由題知，

解得.

（2）當時，，

所以.

當時，，在區間上單調遞減；

當時，，在區間上單調遞增；

所以是在區間上的最小值.

所以.

（3）由（1）知，.

若，則當時，，在區間上單調遞增，

此時無極值.

若，令，

則.

因為當時，，所以在上單調遞增.

因為，

而，

所以存在，使得.

和的情況如下：

x
		0
		極小值

因此，當時，有極小值.

綜上，a的取值范圍是.