Question

【題目】如圖，在三棱錐中，為中點，在平面內的射影在上，，，.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】分析：（1）推導出平面，平面平面，從而，，利用線面垂直的判定定理，即可得到面；

（2）以為原點，向量的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解．

詳解：（1）因為在平面內的射影在上，所以平面.

因為平面，所以平面平面.

又平面平面，平面，，

所以平面.因為平面，所以.

由已知易得 ,又，所以,

在三角形中，由余弦定理得，

所以，于是，且·

又，平面，平面，

所以平面.

（2）在平面內過作，則平面.以為原點，向量

的方向分別為軸、軸、軸的正方向，

建立空間直角坐標系為計算簡便，不妨設，

則，，，·

所以，.

顯然是平面的一個法向量.

設是平面的法向量，

則,即·

令，得.

設二面角的大小為（為銳角）.

所以.

所以二面角的余弦值為.