Question

【題目】將圓上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變為原來的倍，得曲線.

寫出的參數方程；

設直線與的交點為，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，求過線段的中點且與垂直的直線的極坐標方程.

Answer 1

【答案】 （0≤θ＜2π，θ為參數）；.

【解析】

（1）在曲線C上任意取一點（x，y），再根據點（x，）在圓x2+y2＝1上，求出C的方程，化為參數方程．（2）解方程組求得P1、P2的坐標，可得線段P1P2的中點坐標．再根據與l垂直的直線的斜率為，用點斜式求得所求的直線的方程，再根據x＝ρcosα、y＝ρsinα 可得所求的直線的極坐標方程．

設為圓上的點,在已知變換下變為上點，依題意，得，

由，得，即曲線的方程為.

故的參數方程為 （0≤θ＜2π，θ為參數）

由解得或.

不妨設,則線段的中點坐標為,

所求直線斜率為,于是所求直線方程為，

化為極坐標方程，并整理得，即.