Question

【題目】已知函數的定義域為，當時， ，且對任意正實數，滿足.

（1）求；

（2）證明在定義域上是減函數；

（3）如果，求滿足不等式的的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）由令，可得；（2）任取，且，則可得， ，從而可得結果；（3）先根據特值法求得，原不等式可化為， ，利用定義域及單調性列不等式組求解即可.

試題解析：（1）令，得.

（2）任取，且，則，

由題意， ，

即，所以在定義域上是減函數.

（3）由，得，得.

由得： ，

，

由在定義域上是減函數得.

又，

因此的取值范圍為.

【方法點晴】本題主要考查抽象函數的定義域、解析式、抽象函數的單調性及抽象函數解不等式，屬于難題.根據抽象函數的單調性解不等式應注意以下三點：（1）一定注意抽象函數的定義域（這一點是同學們容易疏忽的地方，不能掉以輕心）；（2）注意應用函數的奇偶性（往往需要先證明是奇函數還是偶函數）；（3）化成 后再利用單調性和定義域列不等式組.